1.1 Historia

Después de la invención del Cálculo por parte de Newton y Leibniz, la primera ola de practicantes del cálculo se enfocaron en problemas estáticos o restringidos. La siguiente generación de practicantes (Euler, los hermanos Bernoulli y D’Alembert) se enfocaron en encontrar las ecuaciones de movimiento de los sistemas dinámicos. Uno de los sistemas más sencillos, que produjo las primeras ecuaciones de movimiento, fue el péndulo doble.

El péndulo doble, en su forma más sencilla, es una masa en una barra rígida sin masa, unida a otra masa en otra barra rígida sin masa.

El péndulo doble por Daniel Bernoulli, Johann Bernoulli y D’Alembert.

Daniel Bernoulli fue el primero en estudiar el péndulo doble al publicar un artículo sobre el tema en 1733 en la Academia de San Petersburgo. Como era físico primero y luego matemático, hizo experimentos con masas atadas a cuerdas en un intento por entender el comportamiento cualitativo y cuantitativo del sistema de dos masas.

Él descubrió que cualquier movimiento general del péndulo doble es una combinación de las mociones simétricas y antisimétricas fundamentales. También es la primer declaración sobre una combinación de movimientos, misma que usaría posteriormente en 1753 para expresar el principio de superposición por primera vez. La superposición es uno de los principios que rigen los sistemas físicos lineales. Además, proporciona un medio para la solución de ecuaciones diferenciales y actualmente se utiliza en ciencias cuánticas.

2.1 Péndulo ideal

Transformar problemas del mundo real al mundo matemático suele ser un gran reto. Antes de intentar plantear el problema tal como es en la realidad, primero deben realizarse una serie de supuestos simplificadores para poder llegar a la solución poco a poco. Es por ello que antes de estudiar el péndulo doble comenzaremos por estudiar el péndulo simple sin ninguna fuerza externa y poco a poco iremos levantando algunos supuestos.

Es evidente que en cualquier sistema en movimiento, la fuerza de fricción juega un papel fundamental. Sin embargo, para fines de este ejemplo no consideraremos esta fuerza en nuestro sistema.

Denominamos ideal este ejemplo por el hecho de que sucede, para nuestra conveniencia, en un mundo utópico que nos facilitará representar el péndulo de una manera sencilla a pesar de que se encuentra sumamente lejos de la realidad.

Podemos observar este péndulo en la siguiente figura, el cual se compone de:

• Una vara rígida de longitud \(l=1 \ \text{m}\) (sin masa).
• Una bola al final de la vara con masa \(m =1 \ \text{kg}\).
• Un ángulo \(\theta(t)\) que determina la posición de la vara al tiempo t.
• Una fuerza de gravedad que atrae la masa hacia abajo dada por \(mg\).
  • \(g\) como la aceleración de gravedad (\(g = 9.8 \ m/s^2\) en la Tierra).

Péndulo simple

Recordemos que solamente actúa externamente la fuerza de gravedad porque estamos asumiendo que no existe la fuerza de fricción. Como la masa se mueve alrededor de un círculo de radio \(l\), entonces podemos definir las siguientes magnitudes:

• Fuerza tangencial (se opone al movimiento): \(F_m=-mg\sin(\theta)\)
• Velocidad angular: \(\dot{\theta} = \frac{d\theta}{dt}\)
• Velocidad de la partícula (m): \(l\dot{\theta} = l\frac{d\theta}{dt}\)

Por la Segunda Ley de Newton \(F=ma\), escribimos la fuerza total de la partícula:

\[ \underbrace{m}_{m} \underbrace{l\ddot{\theta}}_{a} = \underbrace{-mg\sin({\theta})}_{F} \]

Simplificando:

\[ \ddot{\theta} = -\frac{g}{l}\sin{(\theta)} = -g\sin{(\theta)} \]

Reescribiendo como un sistema aplicando la sustitución para la velocidad angular \(\omega=\dot{\theta}\) obtenemos:

\[ \begin{aligned} \dot{\theta} &= \omega\\ \dot{\omega} &= -g\sin{(\theta)} \end{aligned} \]

Bajo los supuestos que utilizamos, ¡nuestro péndulo nunca se detiene!

Péndulo ideal

Podemos notar fácilmente que los puntos de equilibrio son de la forma \((\theta,\omega)=(k\pi,0)\) con \(k \in \mathbb{Z}\) y ocurren cuando el péndulo se encuentra completamente vertical.

Al ser un sistema conservativo, procederemos a analizarlo con un poco más de detenimiento mediante el método del potencial para poder esbozar su retrato fase.

Primero encontramos la energía potencial del sistema para confirmar la ubicación de los puntos de equilibrio:

\[ \begin{aligned} u(\theta) & = - \int_{0}^{\theta} -g \sin(t) \,dt = -g \left(\cos(t)\right)\Big|_{0}^{\theta} = g \left(1 - \cos(\theta)\right) \\ u^{\prime}(\theta) & = g \sin(\theta) = 0 \iff \theta = k \pi \quad con \quad k \in \mathbb{Z} \end{aligned} \]

De igual manera, podemos analizar gráficamente cómo se comporta la energía potencial a lo largo del tiempo:

Potencial del péndulo ideal

Para cada nivel de energía \(h\) tenemos que las órbitas del sistema están dadas por:

\[ \omega = \pm \sqrt{2\left(h-g\left(1-\cos(\theta)\right)\right)} \]

Si graficamos para cada nivel de energía podemos esbozar el retrato fase:

Niveles de energía y retrato fase

De esta manera podemos concluir que los puntos de equilibrio tienen estabilidad:

\[ (k\pi,0) = \begin{cases} \text{centros} & \text{si}\ k \text{ par} \\ \text{silla} & \text{si}\ k \text{ impar} \end{cases} \ k \in\mathbb{Z} \]

2.2 Péndulo con fricción

Ya que conocemos cómo se comporta el péndulo ideal, ahora podemos comenzar a tomar en la fuerza de fricción. Dicha fuerza es proporcional a la velocidad de la partícula y es negativa porque se opone al movimiento.

\[ F_f=-bl\frac{d\theta}{dt}=-bl\dot{\theta} \quad b>0 \] Siguiendo nuevamente la Segunda Ley de Newton: \[ \underbrace{m}_{m} \underbrace{l\ddot{\theta}}_{a} = \underbrace{\underbrace{-mg\sin({\theta})}_{F_m}\underbrace{-bl\dot{\theta}}_{F_f}}_{F} \] Simplificando y manteniendo los supuestos de \(l=1\) y \(m=1\):

\[ \ddot{\theta} = -\frac{g}{l}\sin{(\theta)} -\frac{b}{m}\dot{\theta} = -g\sin{\theta}-b\dot{\theta} \] Reescribiendo como un sistema aplicando la sustitución para la velocidad angular \(\omega=\dot{\theta}\) obtenemos:

\[ \begin{aligned} \dot{\theta} &= \omega \\ \dot{\omega} &= -b \, \omega - g \sin(\theta) \end{aligned} \]

Debido a que ya tenemos otra fuerza que va en contra del movimiento entonces el péndulo se detiene en algún momento.

Péndulo con fricción

Obtenemos los puntos de equilibrio:

\[ \begin{aligned} \dot{\theta} &= 0 \iff \omega=0 \\ \dot{\omega} &= 0 \iff -b \, \omega - g \sin(\theta) = 0 \end{aligned} \]

Los puntos de equilibrio están dados por \((\theta,\omega)=(k\pi,0)\) con \(k \in \mathbb{Z}\). Notemos que son exactamente los mismos que para el péndulo ideal.

Vamos a analizar el comportamiento cerca de los puntos de equilibrio utilizando la Jacobiana del sistema en cualquier punto \((\theta,\omega)\) y el Teorema de Hartman-Grobman.

\[ Df(\theta, \omega) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -g \cos(\theta) & -b \end{pmatrix} \]

• Para los puntos de equilibrio con un múltiplo par de \(\pi\) tenemos:

\[ Df(2k\pi, 0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -g & -b \end{pmatrix} \]

Calculamos el polinomio característico y sus valores propios:

\[ \begin{aligned} p(\lambda) & = \lambda^2 + b \lambda + g \\ p(\lambda) & = 0 \iff \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4g}}{2} \end{aligned} \] De esta manera, los valores propios de los puntos de equilibrio pares de la forma \((2k\pi, 0)\) dependen del signo del discriminante \(D=b^2-4g\), es decir, de la relación entre el coeficiente de fricción y la gravedad.

\[ \lambda_{1,2} = \begin{cases} \lambda_{1,2}<0 &si\ D>0\\ \lambda_1=\lambda_2<0 &si\ D=0\\ \text{Real}(\lambda_{1,2})<0 &si\ D<0 \end{cases} = \begin{cases} \text{sumidero} &si\ D>0\\ \text{nodo estable} &si\ D=0\\ \text{espiral estable} &si\ D<0 \end{cases} \]

• Para los puntos de equilibrio que son un múltiplo impar de \(\pi\) tenemos:

\[ Df((2k+1)\pi, 0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ g & -b \end{pmatrix} \]

Calculamos el polinomio característico y sus valores propios:

\[ \begin{aligned} p(\lambda) & = \lambda^2 + b \lambda - g \\ p(\lambda) & = 0 \iff \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2+4g}}{2} \end{aligned} \]

Podemos ver que ambos valores propios son reales, uno positivo y uno negativo, por lo tanto tenemos un punto silla en los múltiplos impares de \(\pi\).

Para esbozar el retrato fase utilizaremos las ceroclinas.

\[ \begin{aligned} \dot{\theta} &= 0 \iff \omega = 0 \\ \dot{\omega} &= -b \, \omega - g \sin(\theta) = 0 \iff \omega = - \frac{g}{b} \sin(\theta) \end{aligned} \]

Ceroclinas péndulo con fricción

Utilizando la información que obtuvimos de los puntos de equilibrio y las ceroclinas podemos esbozar el retrato fase:

Retrato fase del péndulo con fricción

Como podemos ver, el retrato fase es sumamente parecido al del péndulo sin fricción. La principal diferencia es que ahora hay espirales en lugar de las órbitas periódicas del péndulo ideal. Esto se debe a que, debido a la fricción, el péndulo ya no oscila indefinidamente, sino que cada vez la trayectoria es más corta y se va acercando poco a poco a la posición de equilibrio en la que el péndulo cuelga hacia abajo sin moverse (puntos de la forma \((\theta, \omega) = (2k\pi, 0)\)).